La Fisica dietro la Refrigerazione

I Principi Fisici dietro il Raffreddamento

Andiamo ora a calcolare il decadimento della temperatura nel tempo t, quando un corpo ad una certa temperatura iniziale, si raffredda in un ambiente a temperatura minore. Questa teoria è applicabile a tutti quei dispositivi che si riscaldano e che per un certo tempo non possono essere toccati e le applicazioni vanno anche fino ai circuiti elettronici di potenza.

Si sa che la distribuzione delle temperature nella trasmissione per conduzione del calore, sia in regime stazionario e non, viene regolata dalla equazione di Fourier a tre dimensioni data da:

                                                                

con T temperatura assoluta, k conducibilità ed ,




                                                                           

con ρ densità e c calore specifico a pressione costante del mezzo. α è detta diffusività. Il termine q_v è relativo alla potenza di calore assorbita o persa dal sistema (temine di sorgente o pozzo).
Inoltre vale anche in maniera più semplificata la relazione di Fourier nella trasmissione di calore unidimensionale, che è data, per unità di superficie trasversale alla propagazione del calore, da:

con k conducibilità termica. 

Ma nell'aria e nel vuoto abbiamo anche due modalità di trasmissione del calore: convezione ed irraggiamento. Infatti il calore si trasmette sia per i moti delle particelle dell'aria a temperature diverse, sia perché' in corpo caldo può assimilarsi per la legge di Stephen-Boltzmann ad una sorgente elettromagnetica. La somma di queste due ultime modalità di trasmissione del calore e' detta adduzione.
Andiamo a esaminare il caso di raffreddamento di un corpo. Se ipotizziamo una lastra metallica quadrata di lato l e spessore d ad una certa temperatura T, si può arrivare a determinare la legge di raffreddamento nel tempo, considerando congiuntamente i fenomeni di conduzione attraverso la sezione della lastra, la convezione vicino alla lastra e l'irraggiamento provocato dalla temperatura della lastra stessa. Esaminiamo il caso di convezione. Infatti s'ipotizza che vi sia a contatto della superficie della piastra uno strato laminare di aria dove il calore si trasmette per convezione, la cui profondità è nell'ordine dei millimetri. La quantità di calore per unità di tempo che viene scambiata per convezione è data da:

                                                              

con h_c costante di convezione e T_c e T_a temperature del corpo lastra e del mezzo al di la' della lastra, ovvero l'aria.
D'altro canto, nella lastra la quantità elementare di calore che fluisce tra due sezioni vicine distanti in temperatura è data da:

                                                                

sulla superficie vale la condizione limite che le quantità trasmesse per conduzione e per convezione debbano essere uguali per cui si arriva all'equazione differenziale seguente in T(t)

                                                    

Considerando l'irraggiamento, l'equazione di trasmissione del calore e' della stessa forma di quella di convezione per cui, applicando anche per questo caso la condizione al contorno sulla superficie della lastra, uguagliando flusso di calore per conduzione e per irraggiamento si giunge all'equazione differenziale:

                                                     

con h_i costante d'irraggiamento.

Sommando i due casi di convezione ed irraggiamento, l'equazione differenziale diventa:
                                              

Manipolando ancora un po', si ottiene:

                                            

con h_a = h_c + h_i
 
Valendo l'ipotesi tacitamente ammessa, di linearizzazione per piccole variazioni di temperatura. Il risultato dell'equazione e' la seguente funzione di temperatura nel tempo, che da' la legge di raffreddamento da una temperatura T_c ad una T_a.

                                              

La quantità   e' la costante di tempo del sistema considerato, tempo in cui la temperatura scende da quella massima T_c a una inferiore di  

Per il calcolo dei coefficienti h_c e h_i occorre riferirsi alle teorie della trasmissione di calore per conduzione ed irraggiamento.
Nell'ambito della convezione si ha che il coefficiente h_c e' legato al numero di Nusselt, secondo la relazione:


                                                                       


dove Nu è il numero di Nusselt, L_c la dimensione della zona di convezione, ovvero la larghezza dello strato laminare nell'aria nel nostro caso e k la conducibilità dell'aria.

Il numero di Nusselt e' legato all'andamento del numero Ra di Rayleigh, che è il prodotto tra il numero di Grashoff Gr e il numero di Prandtl Pr. Si ha che

                                                           

è il numero di Grashoff è il numero di Prandtl

e quindi

                                                         


Dove, riepilogando
g e' l'accelerazione della gravità
β il coefficiente di dilatazione dei gas perfetti, pari a con T temperatura assoluta.

L_c dimensione caratteristica della convezione
ν viscosità dinamica del fluido
α viscosità dinamica del fluido

Se
Si ha che Nu = 0.59Ra^0.25 ovvero si e' in convezione naturale con regime laminare;

se si e' in convezione naturale turbolenta con
Nu = 0.13Ra^0.33
 
Il nostro caso sarà il primo dei due.
Per l'irraggiamento h_c deriva dalla legge della potenza di calore per unità di superficie irradiata da un corso grigio che vale


Confrontando con l'equazione della quantità di calore trasmessa per irraggiamento vista precedentemente, si ricava che

In questa formula σ₀ e' il coefficiente di Stephen - Boltzmann, che vale , mentre a e' il coefficiente di assorbimento del corpo irradiante, assimilato ad un corpo grigio.

                                           


 Da un punto di vista Atomico

Lo studio di sistemi atomici a bassissima temperatura richiede di sottrarre agli atomi energia cinetica. Considerando che la velocità degli atomi, a temperatura ambiente, è a seconda della massa atomica dell’ordine di 100-1000 m/s, e volendo ottenere velocità molto basse ed elevate densità senza che siano variate le proprietà intrinseche del sistema, per temperature superiori a quella di condensazione del gas si può raffreddare il sistema stesso sfruttando le collisioni degli atomi con le pareti fredde del contenitore. 

Volendo, invece, raggiungere velocità corrispondenti a temperature dell’ordine di 10⁻⁶ K, si possono utilizzare tecniche di r. laser che hanno costituito la motivazione per l’assegnazione del premio Nobel per la fisica nel 1997 a C. Cohen-Tannoudji, S. Chu e W.D. Phillips. In tali tecniche si diminuisce l’energia cinetica degli atomi utilizzando l’impulso scambiato tra un fotone e l’atomo durante i processi di assorbimento ed emissione di luce. Se un atomo di massa M si muove in verso opposto a quello di un fascio laser di frequenza ν per ogni fotone che egli assorbe, stante il principio della conservazione della quantità di moto, la sua velocità deve variare della quantità (detta velocità di rinculo) v_r=hν/(Mc), dove h è la costante di Planck, c la velocità della luce nel vuoto e hν/c l’impulso del fotone. Nel caso, per es., della transizione D₂ di un atomo di sodio dotato di una velocità di circa 1000 m/s, per arrestarlo è sufficiente che esso subisca circa 33.000 processi di assorbimento. 

Dopo ogni assorbimento di un fotone l’atomo dovrà diseccitarsi con un’emissione spontanea prima di poter assorbirne un altro: poiché l’emissione spontanea avviene in una direzione casuale, in media tale processo non varia la velocità dell’atomo. Un ciclo di assorbimento e riemissione può impiegare un tempo dell’ordine della vita media τ dello stato eccitato dell’atomo, che è di qualche decina di nanosecondi, sicché per assorbire il numero di fotoni sufficienti per l’arresto bastano alcuni millisecondi. Il tempo effettivamente impiegato, oltre che dal valore di τ, dipende da diversi fattori, quali la frequenza e l’intensità della radiazione laser. 

Il valore inferiore limite della temperatura raggiungibile è dato dalla competizione di due fenomeni: il primo è connesso alla circostanza che l’indeterminazione finale sulla velocità degli atomi non può essere inferiore a quella corrispondente al rinculo per emissione di singolo fotone; il secondo consegue dalla circostanza che l’emissione spontanea non modifica il valore medio dell’impulso atomico, ma ne aumenta l’indeterminazione. 

Il primo processo dà luogo a una temperatura limite (detta temperatura di rinculo) T_r=(hν_L/c)²/(Mk), dove ν_L è la frequenza della radiazione laser e k la costante di Boltzmann; il secondo processo conduce invece a una temperatura limite (detta temperatura Doppler) T_D=h/(4πτk). Temperature inferiori a questi limiti possono essere conseguite facendo seguire al r. laser un’espansione adiabatica del campione di materia da raffreddare. In tal modo sono state ottenute dal gruppo di W. Ketterle nel 2003 le minime temperature conseguite in laboratorio (0,5 × 10⁻⁹ K).



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